天才一秒记住【做客中文网】地址：https://www.zk01.net
这个过程中，倘若将加法换成乘法，我们就得到了所谓的阶乘。
这一概念已经在第2章中出现过。
阶乘常常现身于计数和概率问题中，比如打扑克时抽到特定牌的概率。
因而它有单独的记号：n的阶乘记为n!=n×（n-1）×…×2×1。
随着n的增长，三角形数的大小增长得相当快，增长率差不多能达到n2的一半，然而阶乘变大还要快得多——很快就能增大到百万量级。
比如10!=3628800。
阶乘由感叹号来代表，恰恰提醒着我们那令人惊叹的增长速度!
在关于计数的问题——或称为枚举（eions）问题中，最特殊的一类数便是二项式系数（bis）。
之所以叫这个名字，是因为它们是将二项式（1+x）n展开后x的各阶幂次前的系数。
二项式系数，r）代表了我们从n个元素中挑选出r个元素一共有多少种不同的方法。
例如，C（4，2）=6，因为从4个元素中取一对有6种方法（不在乎这两者的次序）。
再具体些，假设我们有4位儿童：A，B，C和D。
那么有6种方法从中选出1对：AB，AC，AD，BC，BD和CD。
这个用阶乘计算二项式系数的公式确实提供了一种简便的代数方法，使我们能够证明这些系数的许多特殊性质。
然而，如果我们用第二种方法来导出这些整数，这些性质的演化会更清楚。
这种方法基于算术三角形[3]（Arithmetigle）（如图2），又称为帕斯卡三角形（Pascal’striangle），以纪念17世纪法国数学家和哲学家布莱士·帕斯卡（BlaisePascal）。
算术三角形在过去的1000年里被波斯、印度和中国数学家各自发现。
它出现在1303年朱世杰[4]所著《四元玉鉴》的封面上。
算术三角形的结构能够给出正确的答案，这一点不难理解。
每一行都由上一行所产生。
我们可以轻松看出前三行是正确的：例如，第三行中央的2告诉我们从一对人当中选出一位总共有两种方法。
顶端的1表明从空集中选出0个元素就只有一种方法。
实际上，从任意集合中选出0个元素的方法都是一种，这就是为什么每行都从1开始。
我们重点看刚才的例子——共有21=15+6种方法从7人中选出5人。
这21种选法自然地分成两类。
第一类，有15种方法从前6人中选出4人，我们可以再加上第七位凑成5人组。
或者如果我们不选第七位，则要从前6人中一次选出5人，共有6种方法。
这个例子告诉我们一行是如何生成下一行的：每个元素都是上面两数之和，按照这一模式从上到下建立起整个三角形。
这个规则可用符号表示成以下形式：
，r）=-1，r）+-1，r-1）.
算术三角形蕴含着丰富的规律。
比如：将每行的数分别相加可以得到倍增数列1，2，4，8，16，32，…，即2的各次幂。
以1，8，28，56，…这行为例，我们是在将从8个元素中选出0个、1个、2个、3个……元素的方法个数相加，最后得到的是从8个元素中一次选取任意个数的元素共有多少种方法。
本章未完，请点击下一章继续阅读！若浏览器显示没有新章节了，请尝试点击右上角↗️或右下角↘️的菜单，退出阅读模式即可，谢谢！