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再下个月，雌兔总数达到5只，因为雌兔和它的大女儿都能够生育。
一般地，在这之后的每个月初，新生雌兔的数量等于两个月前雌兔的总数，因为此刻只有它们处于生育年龄。
于是，每月初雌兔总数等于上月雌兔的数量与上上个月雌兔数量之和（斐波那契的雌兔是永生的）。
因而斐波那契数列的产生方式完全符合他的雌兔繁殖的方式。
尽管真实世界的兔子并不是以这种异想天开的方式来繁殖的，斐波那契数列依然换着面孔出现在自然界中，包括植物的生长。
我们对这一现象的原因已经有了透彻的理解，这与该数列的更微妙的性质有关，即黄金分割比（GoldenRatio）。
我们这就来谈谈它。
最简单的数列类型便是我们在本章第一部分介绍的算术和几何数列。
虽然斐波那契数列并非它们中的一种，它却与后者有惊人的联系。
当计算斐波那契数列邻项之差并将它们也排成一列时，我们得到0，1，1，2，3，5，8，13，…，于是又得到了一组斐波那契数列，只是这次是从0开始的!其中的原因正是这个数列形成的方式：两个相邻斐波那契数之差恰好等于它俩之前的那个数，（想要代数地证明这一点，可以将上面的斐波那契递推公式两边同时减去fn-1）所以它不是算术数列。
它也不是几何数列，因为相邻两项斐波那契数之比并不是常数。
但我们观察邻项之比的时候，它似乎在一个极限值附近稳定下来，而且这个比值很快就趋于稳定了。
让我们将每个斐波那契数除以它前一个数：
这个逐渐显露的神秘的数，1.6180…，到底是什么呢？这个数τ被称为黄金分割比，它也会出现在一些几何问题中，而这些问题看起来跟斐波那契的兔子相差十万八千里。
例如，τ是正五边形的对角线与边长之比（如图4）。
任意两条对角线的交点将它们各自分成两段，这两段长度之比也是τ∶1。
一对相交的边和一对相交的对角线构成一个菱形（一个“正方的”
平行四边形），即如图4中的ABCD。
所有对角线的交点又组成了一个小的倒立的五边形。
另一种获得τ的值的方法是通过它的连分数。
连分数能将τ和斐波那契数列直接联系起来，我们将在第7章中探索这一方法。
不断数下去，斐波那契数列看起来就像一个几何数列，它的公比是黄金分割比。
正是由于这一性质和它简单的构成规则，斐波那契数列无处不在。
斯特林数和贝尔数
像二项式系数一样，斯特林数[6]（Stirlingnumbers）经常在计数问题中出现。
它依赖于两个变量，n和r。
斯特林数S（n，r）是将一个有n个元素的集合分割成r个子块的方法的个数，每一块都非空，且无关于块的次序和块内部元素的顺序。
（严格地说这些称为第二类斯特林数。
第一类斯特林数与此相关，但代表了非常不同的东西，即将n个物体排列成r个环的方法总数。
）例如，含有元素a，b，c的集合只能以一种方式分成三块：{a}，{b}，{c}；或是以三种方式分成两块，分别是{a，b}，{c}和{a}，{b，c}和{a，c}，{b}；或是以唯一一种方式分成一块：{a，b，c}。
因此S（3，1）=1，S（3，2）=3以及S（3，3）=1。
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