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分拆数
另一方面，如果待分割集合中的n个物体是一模一样、无法区分开的，将整个集合分拆为子块的方法数就变得小得多了。
这称为第n个分拆数[8]（partitionnumber）。
每一个特定的分拆对应于将n写成一些不考虑次序的正整数的和。
例如，1+1+1+1+1是5的一个分拆，还有6种其他分拆，因为我们还可以将5表示成1+1+1+2，1+2+2，1+1+3，2+3，1+4，或直接就是5。
因此第5个分拆数为7（对比第5个贝尔数，后者可由斯特林三角形计算，即1+15+25+10+1=52）。
没有简单的精确公式可以计算第n个分拆数，但有一个复杂的公式。
该公式基于印度天才数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金（SrinivasaRamanujan）给出的一个优美近似。
分拆具有一种简单的对称性，那就是将n分拆为m个数的方案数等于将n分拆后所得数中最大值恰为m的方法个数。
要想看到这一结论的正确性，一种方法是通过分拆的费勒斯图像（Ferrar’sgraph）——或称杨表[9]（Youngdiagram）。
这个图表并不神秘，无非是将分拆表示成元素逐行减少的点阵。
在图6的例子中，我们把17拆分为5+4+4+2+1+1。
注意到从左向右各列也以降序排布。
如果我们绕着左上到右下的对角线翻转整个点阵，我们就得到图示的第二个费勒斯图像，这个图像可以阐释为分拆17=6+4+3+3+1。
对第二个图像做同样的翻转，又会回到第一个图像。
我们称这两种分拆互为共轭（dual）。
这一对称性表明两种类型的分拆方案数是相等的：一种是m为结果中最大的数的分拆（即顶端行有m个点），它的共轭是一个有m行的分拆，即拆分为m个数。
例如，将17拆分为6个数的方案数，等于将17拆分使得最大数为6的方案数。
冰雹数
尽管不是一种计数工具，冰雹数（hailstonenumbers）仍然耐人寻味，因为它也是被递推定义的，不过这个数列更像我们在第3章中遇到的真因数和数列。
以下问题有好几个名字，考拉兹算法（Collatzalgorithm）、叙拉古问题（Syra），或者有时就叫3n+1问题[10]。
它基于一个简单的观察，即从任意数n开始，经过以下步骤似乎最终总是得到1：若n是偶数，将其除以2；若n是奇数，用3n+1代替它。
例如，从n=7开始，我们按照这些规则得到以下数列：
7→22→11→34→17→52→26→13→40
→20→10→5→16→8→4→2→1.
于是这一猜想对n=7成立。
实际上该猜想已经被证实对于直到一万亿以上的某个数都是正确的[11]。
但是如果你乱动了规则，事情就大不一样了。
比如，用3n-1代替3n+1会导致一个循环：
7→20→10→5→14→7→….
考拉兹算法产生的数列类似于冰雹，在很长一段时间内它们的取值大起大落，但最终似乎总会降落到地面。
在前1000个正整数中，有超过350个数上升到最大高度9232，而后则迅速跌落到1。
一旦你遇到2的幂次，就会最终得到1，因为之后这些数不会经历任何爬升，只能一路衰减到底。
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